Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，

m

=（b，2a-c），

n

=（cosB，cosC），且

m

∥

n

（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）要求B角的大小，要先确定B的一个三角函数值，再确定B的取值范围
（2）要求三角函数的最值，要先将其转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质解答．

解答：解：（1）由m∥n，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB．
由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB．
又B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB．
又sinA≠0，∴cosB=

1

2

．
又B∈（0，π），∴B=

π

3

．
（2）f(x)=cos(ωx-

π

6

)+sinωx=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx=

3

sin(ωx+

π

6

)
由已知

2π

ω

=π，∴ω=2.f(x)=

3

sin(2x+

π

6

)
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
因此，当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f(x)取得最大值

3

；
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f(x)取得最小值-

3

2

点评：①能够转化为y=Asin（ωx+φ）+B型的函数，求值域（或最值）时注意A的正负号；②能够化为y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型或可化为此型的函数求值，一般转化为二次函数在给定区间上的值域问题．