Question

已知函数f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（II）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：把函数解析式的前两项利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的最小正周期；
（II）由x的范围，得到这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，可得出函数的最大值及最小值．

解答：解：函数f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+1=sin（2x-

π

3

）+1，
（Ⅰ）∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π；
（II）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x∈[0，π]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2

3

π]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
则f（x）的最大值为2，最小值为-

3

2

+1．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，利用三角函数的恒等变形把函数解析式互为一个角的正弦函数是解本题的关键．