Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足T_n=1-b_n．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）当

1

an+25

是数列{b_n}中的项时，将这样的a_n按原来的顺序组成新数列{c_n}，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，在写一式，两式相减，可得{b_n}为首项和公比均为

1

2

的等比数列，从而可求{b_n}的通项公式；
（2）设数列中的第m项满足题意，则

1

am+25

=(

1

2

)n，从而可得数列{c_n}的通项，利用求和公式，即可得到结论．

解答：解：（1）当n=1时，∵b₁=T₁=1-b₁，∴b₁=

1

2

当n≥2时，∵T_n=1-b_n，∴T_n-1=1-b_n-1，
两式相减得：b_n=b_n-1-b_n，即：b_n=

1

2

b_n-1，
故{b_n}为首项和公比均为

1

2

的等比数列，
∴b_n=（

1

2

）ⁿ；
（2）由题意，设数列中的第m项满足题意，则

1

am+25

=(

1

2

)n，∴2m-1+25=2ⁿ
∴m=2^n-1-12（n≥5）
∴cn=a2n+3-12=2n+4-25
∴数列{c_n}的前n项和S_n=

32(1-2n)

1-2

-25n=2ⁿ⁺⁵-25n-32．

点评：本题考查等比数列的判定，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．