Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=

3

a．
（1）求y=（2-sinA）²+cos²B的取值范围；
（2）当c=1，且△ABC的面积为

3

4

时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据b=

3

a，利用正弦定理得sinB=

3

sinA，从而得到函数y=（2-sinA）²+cos²B=-2（sinA+1）²+7，由此结合A、B为三角形的内角算出0＜sinA≤

3

3

，由二次函数在闭区间上的最值求法，可得所求取值范围．
（2）由正弦定理的面积公式，代入数据算出sinC=

1

2a2

．再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子化简求出cosC=

4a2-1

2 3 a2

，利用同角三角函数的平方关系建立关于a的方程，解之即可求出边a的长．

解答：解：（1）由b=

3

a，得sinB=

3

sinA，
由A、B为三角形的内角，得

0＜sinA≤1 0＜ 3 sinA≤1

∴0＜sinA≤

3

3

∴y=(2-sinA)2+cos2B=(2-sinA)2+1-(

3

sinA)2=-2sin2A-4sinA+5=-2(sinA+1)2+7y=(2-sinA)2+cos2B=(2-sinA)2+1-(

3

sinA)2
=-2sin²A-4sinA+5=-2（sinA+1）²+7
∵0＜sinA≤

3

3

，
∴当sinA=0时，y有最大值为5；当sinA=

3

3

时，y有最小值为

13

3

-

4 3

3

因此，函数y=（2-sinA）²+cos²B的取值范围是[

13

3

-

4 3

3

，5)；
（2）由三角形面积公式，得

1

2

absinC=

3

4

，可得sinC=

3 2

ab

=

3 2

3 a2

=

1

2a2

根据余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=1，
即4a²-2

3

a²cosC=1，得cosC=

4a2-1

2 3 a2

∵sin²c+cos²c=1，
∴（

1

2a2

）²+（

4a2-1

2 3 a2

）²=1，解之得a=1．

点评：本题给出三角形的边满足的条件，求关于sinA、cosB的函数的值域，并在已知三角形面积的情况下解边a的值．着重考查了正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和二次函数在闭区间上的最值等知识，属于中档题．