Question

已知某厂生产x件产品的成本为c=25 000+200x+x²(元).

(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？

(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

Answer 1

点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.

解析:(1)设平均成本为y元，则

令y′=0，得x₁=1 000,x₂=-1 000(舍去).

当在x=1 000附近左侧时，y′＜0;

在x=1 000附近右侧时，y′＞0;

故当x=1 000时，y取得极小值.

由于函数只有一个点使y′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.

(2)利润函数为L=500x-(25 000+200x+)

=300x-25 000-.

∴L′=(300x-25 000-)′=300-.

令L′=0，得x=6 000，当x在6 000附近左侧时，L′＞0;

当x在6 000附近右侧时L′＜0，故当x=6 000时，L取得极大值.

由于函数只有一个使L′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品.