Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M为AB的中点．求：
（Ⅰ） 异面直线CM与PD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）直线PD与平面PMC成角的正弦值．

Answer 1

分析：以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）用坐标表示出

PD

=(0，2，-2)，

MC

=(1，2，0)，即可求出异面直线CM与PD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面PMC的法向量，进而利用向量的夹角公式可求直线PD与平面PMC成角的正弦值．

解答：解：以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），M（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）
（Ⅰ） 

PD

=(0，2，-2)，

MC

=(1，2，0)，设异面直线CM与PD所成的角为α，
则cosα=

| PD • MC |

| PD || MC |

=

10

5

；
（Ⅱ）

PM

=(1，0，-2)，

PC

=(2，2，-2)
设平面PMC的法向量为

n

=(x，y，z)，∴

x-2z=0 2x+2y-2z=0

，∴平面PMC的一个法向量为

n

=(2，-1，1)
设直线PD与平面PMC成角为θ，则sinθ=cos＜

PD

，

n

＞=

| PD • n |

| PD || n |

=

3

3

点评：本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，考查线线角，线面角，建立坐标系，用坐标表示点与向量是关键．