Question

已知数列{a_n}中a₁=1，（n∈N⁺）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设b_n=a_n•a_n+1（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足的最小正整数n．

Answer 1

（1）证明：由a₁=1与得a_n≠0，，
所以对?n∈N⁺，为常数，
故为等差数列；
（2）解：由（1）得，
，
所以==，
由即，得，
所以满足的最小正整数n=503．
分析：（1）对（n∈N⁺）两边取导数，然后利用等差数列的定义即可证明．
（2）先由（1）求出，进而求出a_n，b_n，然后利用列项相消法求出S_n，再解不等式即可求得最小整数n；
点评：本题考查数列递推式、等差数列的判定及数列求和问题，若{a_n}为等差数列，公差为d（d≠0），则{}的前n项和用列项相消法，其中=．