Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，D₁D=2，点P在棱CC₁上，且∠A1PB=

π

2

．
（1）求PC的长；
（2）求钝二面角A-A₁B-P的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用∠A1PB=

π

2

，可得

A1P

•

BP

=0，由此可求PC的长；
（2）求出平面AA₁B的一个法向量为

m

=

DA

=(1，0，0)，平面A₁BP的一个法向量为

n

=（1，0，-1），利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：解：（1）如图，以点D为原点O，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，2），
设P（0，1，λ），其中λ∈[0，2]，
因为∠A1PB=

π

2

，所以

A1P

•

BP

=0，
即（-1，1，λ-2）•（-1，0，λ）=0，得λ=1，
此时P（0，1，1），即有PC=1；
（2）平面AA₁B的一个法向量为

m

=

DA

=(1，0，0)，
设平面A₁BP的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • A1P =0 n • BP =0

即

-x+y-z=0 -x+z=0

不妨取x=1，则y=2，z=1，即

n

=（1，2，1），
所以cos＜

m

，

n

＞=

1

6

=

6

6

，
所以，钝二面角A-A₁B-P的大小为π-arccos

6

6

．

点评：本题主要考查空间向量的应用，考查向量的夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题．