Question

已知函数f(x)=

3

sin(ωx+?)-cos(ωx+?)(0＜?＜π，ω＞0)，
（Ⅰ）若函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，且它的图象过（0，1）点，求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若f（x）的图象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出现一个最高点或最低点，则正整数ω的最小值为多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，求出函数的周期，得到ω，且它的图象过（0，1）点，求出?，即可求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）利用将（Ⅰ）中的函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求出函数的解析式，利用正弦函数的单调性，求函数y=g（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）f（x）的图象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出现一个最高点或
最低点，则

π

ω

＜

1

100

，即可求出ω的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx+?)-cos(ωx+?)
=2[

3

2

sin(ωx+?)-

1

2

cos(ωx+?)]
=2sin(ωx+?-

π

6

)（3分）
由题意得

2π

ω

=2×

π

2

，所以ω=2所以f(x)=2sin(2x+?-

π

6

)
又因为y=f（x）的图象过点（0，1），
∴sin(?-

π

6

)=

1

2

又∵0＜φ＜π
∴?=

π

3

∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)（6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到y=2sin(2x-

π

6

)的图象，
再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2sin(

1

2

x-

π

6

)的图象．
即g(x)═2sin(

1

2

x-

π

6

)（9分）
令2kπ-

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，则4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

∴g（x）的单调递增区间为[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

] (k∈Z)．（12分）
（Ⅲ）若f（x）的图象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出现一个最高点或
最低点，则

π

ω

＜

1

100

，即ω＞100π，又ω为正整数，
∴ω_min=315．（15分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性的应用，考查函数的基本性质，求出ω的最小值的条件，是解题的关键．