Question

已知，直线

（1）函数在处的切线与直线平行，求实数的值

（2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围

（3）设，当时的图像恒在直线的上方，求的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）5

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值,求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，（4）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.

试题解析：【解析】
（1），由于在处的切线与直线平行

，解得

（2）由于至少存在一个使成立，

成立至少存在一个

整理得成立至少存在一个，令，当时，

恒成立，因此在单调递增，当时，

，满足题意的实数

（3）由题意在时恒成立

即

，令，则在时恒成立

所以在上单调递增，且

所以在上存在唯一实数使

当时即，

当时即，

所以在上单调递减，在上单调递增

故又，所以的最大值为5.

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数的最值；3、恒成立的问题.