Question

如图所示,已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为a,

(1)求证:平面AB₁D₁∥平面C₁BD;

(2)求平面AB₁D₁和平面C₁BD间的距离.

Answer 1

(1)证明:

∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方体,∴B₁D₁∥BD.

∴B₁D₁∥平面C₁BD.

同理,D₁A∥平面C₁BD,由判定定理知平面AB₁D₁∥平面C₁BD.

(2)解:如图,连结A₁C,设M、N分别是对角线A₁C和平面AB₁D₁、平面C₁BD的交点,

由于A₁A⊥平面ABCD且AC⊥BD,

∴A₁C⊥BD.

同理A₁C⊥BC₁,∴A₁C⊥平面C₁BD,从而A₁C⊥平面AB₁D₁,

因此MN的长即是两个平行平面AB₁D₁和C₁BD的距离.

在矩形A₁ACC₁中,∵AA₁=CC₁=a,AC=A₁C₁=,∴A₁C=.

设平面AB₁D₁和平面A₁ACC₁交于直线AP(其中P设为B₁D₁的中点),则M在直线AP上,又平面BDC₁和平面A₁ACC₁交于C₁Q(其中Q设为BD的中点),

∴N在直线C₁Q上,且AP∥C₁Q,由平面几何知识M、N是A₁C的两个三等分点,

∴MN=,此即为平面AB₁D₁和平面C₁BD间的距离.