Question

在△ABC中，A，B，C满足 1+

sinAcosB

cosAsinB

=

2sinC

sinB

．
（I）求角A
（II）若

m

=(0，-1)，

n

=(cosB，cosC+1)，试求|

m

+

n

|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由1+

sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，利用两角和的正弦公式求出cosA的值，即可求得A的值．
（Ⅱ）先求出

m

+

n

=（cosB，cosC），化简|

m

+

n

|2=1-

1

2

sin(2B-

π

6

)，再根据B的范围求得B=

π

3

时，|

m

+

n

|2取得最小值

1

2

，从而得到|

m

+

n

|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵1+

sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，
即

sinBcosA+sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，∴

sin(A+B)

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，∴cosA=

1

2

．（4分）
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．   （5分）
（Ⅱ）∵

m

+

n

=（cosB，cosC），（6分）
∴|

m

+

n

|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(

2π

3

-B)=1+

1

2

[cos2B+cos(

4π

3

-2B)] 
=1+

1

2

[cos2B-

1

2

cos2B-

3

2

sin2B]=1-

1

2

sin(2B-

π

6

)．      （8分）
∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，∴B∈(0，

2π

3

)，从而-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

．（9分）
∴当sin(2B-

π

6

)=1，即B=

π

3

时，|

m

+

n

|2取得最小值

1

2

．      （11分）
所以，|

m

+

n

|的最小值为

1

2

．      （12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，两个向量的数量积的运算，求向量的模以及正弦函数的定义域和值域，属于
中档题．