Question

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中点．

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD．

(2)求点E到平面PBC的距离．

(3)求二面角A－EB－D的平面角大小．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO．

　　∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

　　∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

　　∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．

　　(2)EO∥PC，PC平面PBC，

　　∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离．

　　作OF⊥BC于F，

　　∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离．

　　由条件可知，OB＝，OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a．

　　(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG　∵OE⊥AC，BD⊥AC　∴AC⊥平面BDE

　　∴AG⊥EB(三垂线定理)　∴∠AGO是二面角A－EB－D的平面角

　　∵OE＝PC＝a，OB＝a　∴EB＝a．∴OG＝＝a　又AO＝a．

　　∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan．

提示：

本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用．