Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足：①图象过原点；②f（1-x）=f（1+x）；③g（x）=f（x）-x²是奇函数．解答下列各题：
（1）求c；
（2）证明：b=-2a；　
（3）求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c图象过原点，
∴f（0）=c=0，
故c=0．
（2）证明：∵c=0，∴f（x）=ax²+bx，
∵f（1-x）=f（1+x），
∴a（1-x）²+b（1-x）=a（1+x）²+b（1+x），
即a-2ax+ax²+b-bx=a+2ax+ax²+b+bx，
整理，得-4ax=2bx，
∴b=-2a．
（3）解：∵g（x）=f（x）-x²=ax²+bx-x²=（a-1）x²+bx是奇函数，
∴a-1=0，即a=1，
∴b=-2a=-2，
∴f（x）=x²-2x．
分析：（1）由二次函数f（x）=ax²+bx+c图象过原点，知f（0）=c=0，由此能求出c．
（2）由c=0，知f（x）=ax²+bx，由f（1-x）=f（1+x），得-4ax=2bx，由此能够证明b=-2a．
（3）由g（x）=f（x）-x²=ax²+bx-x²=（a-1）x²+bx是奇函数，知a=1，故b=-2a=-2，由此能求出f（x）．
点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．