Question

（本小题满分12分）

如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．

（I）证明；

（II）求二面角的大小．

 

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）二面角的大小为

【解析】解：（I）在平面内过点作于点，连结．

因为，，所以，

又因为，所以．

而，所以，，从而，又，

所以平面．因为平面，故．

（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．

过点作于点，连结，由三垂线定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，

不妨设，则，．

在中，，所以，

于是在中，．

故二面角的大小为．

解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，所以是和平面所成的角，则．

不妨设，则，．

在中，，

所以．

则相关各点的坐标分别是

，，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，由得

取，得．

易知是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，由图可知，．

所以．

故二面角的大小为．