Question

如图所示，在△DEM中，

DE

⊥

EM

，

OD

=（0，-8），N在y轴上，且DN=

1

2

（DE+DM），点E在x轴上移动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过点F（0，1）作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁与点M的轨迹交于点A、B，l₂与点M的轨迹交于点C、D，求

AC

•

DB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），E（a，0），则D（0，-8），N（

a+x

2

，y），利用

DE

⊥

EM

，N在y轴上，化简可得点F的轨迹方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直线l₁，l₂的方程分别与抛物线方程联立，消去x可得，利用韦达定理，结合

AC

•

DB

=(

AF

+

FC

)•(

DF

+

FB

)，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），E（a，0），则D（0，-8），N（

a+x

2

，y）
∵

DE

⊥

EM

，N在y轴上，
∴（-a，-8）•（x-a，y）=-a（x-a）-8y=0且

a+x

2

=0
∴2x²-8y=0，所以点F的轨迹方程为x²=4y（x≠0）…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直线l₁的方程为：y=kx+1（k≠0），则直线l₂的方程为y=-

1

k

x+1
由y=kx+1与抛物线方程联立，消去x可得：y²-（4k²+2）y+1=0，则y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1
同理可得：y₃+y₄=

4

k2

+2，y₃y₄=1
∴

AC

•

DB

=(

AF

+

FC

)•(

DF

+

FB

)=y₁y₂+y₃y₄+（y₁+y₂）+（y₃+y₄）+2=4（k²+

1

k2

）+4≥12，当且仅当k=±1时，取等号．
∴

AC

•

DB

的最小值为12．    …（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系，考查向量知识的运用，考查基本不等式，联立方程，正确运用向量知识是关键．