题目内容

满足f（xy）=f（x）+f（y）（x＞0，y＞0）且f（3）=2的函数可以是f（x）=
log
3
x
log
3
x
．
分析：根据对数的运算性质可得对数函数f（x）=logax满足f（xy）=f（x）+f（y）（x＞0，y＞0），结合f（3）=2可得函数的底数，进而得到函数的解析式．
解答：解：若函数为对数函数，不妨令f（x）=logax
则f（xy）=loga（xy）=logax+logay=f（x）+f（y）满足条件
又∵f（3）=2
∴loga3=2
解得a=
3

故f（x）=log
3
x
故答案为：log
3
x
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，熟练掌握对数的运算性质是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(
13
)=1．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对一切x，y＞0，满足f（
x
y
）=f（x）-f（y），且f（4）=2．
（1）求f（2）的值；
（2）解不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜4．
设函数y=f（x）是定义在R+上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(
1
3
)=1．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），f（x+y）=f（x）+f（y），下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．f（x）=3x
B．f（x）=xa
C．f（x）=log2
D．f（x）=kx（k≠0）
定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）若关于x的不等式f-f（9x-3x+1）≥f（1）恒成立，求实数k的取值范围．

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