Question

【题目】已知函数f（x）=ax+ ，其中函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．
（1）若a= ，求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：1+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的导数为f′（x）=a﹣ ，

则有 ，解得 ，

由a= ，得b=﹣ ，c=0，

故f（x）= x﹣ ；

（2）解：由（1）知f（x）=ax+ +1﹣2a，

令φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax+ +1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），

则φ（1）=0，φ′（x）=a﹣ ﹣ = ，

（ i）当0＜a＜ 时， ＞1．

若1＜x＜ ，则φ′（x）＜0，φ（x）是减函数，

所以φ（x）＜φ（1）=0，即f（x）＜g（x）．

故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上不恒成立．

（ii）当a≥ 时， ≤1．

若x＞1，则φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，

所以φ（x）＞φ（1）=0，即f（x）＞g（x），

故当x≥1时，f（x）≥g（x）．

综上所述，所求a的取值范围为[ ，+∞）．

（3）证明：由（2）知当a≥ 时，有f（x）≥g（x）（x≥1）．

令a= ，有f（x）= （x﹣ ）≥lnx

且当x＞1时， （x﹣ ）＞lnx．

令x= ，有ln ＜ （ ﹣ ）= [（1+ ）﹣（1﹣ ）]

∴ln（k+1）﹣lnk＜ （ + ），k=1，2，3，…，n，

将上述n个不等式依次相加，得ln（n+1）＜ +（ + +…+ ）+ ，

整理得1+ + +…+ ＞ln（n+1）+ ．

【解析】（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c，从而求出函数的解析式即可；（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（3）由（1）可知a≥ 时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a= 时， （x﹣ ）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．