Question

 △ABC中, B是椭圆在x轴上方的顶点, 是双曲线位于x轴下方的准线, 当AC在直线上运动时.

(1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；

(2)过定点作互相垂直的直线, 分别交轨迹E于M、N和R、Q, 求四边形MRNQ面积的最小值.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由椭圆方程及双曲线方程可得点直线方程是

   且在直线上运动。

   可设

   则的垂直平分线方程为                            ①

   的垂直平分线方程为          ②

P是△ABC的外接圆圆心，点P的坐标满足方程①和②

由①和②联立消去得

故圆心P的轨迹E的方程为_{--------------------------------------------------------（6分）}

(2)由图可知，直线和的斜率存在且不为零，设的方程为，

，的方程为

由         得 _{------------------------------（8分）}

  △=直线与轨迹E交于两点。

设，则。

同理可得：四边形MRNQ的面积

_{------------（12分）}

当且仅当，即时，等号成立。

故四边形MNRQ的面积的最小值为72。----------------------------------------------------（13分）