Question

如图，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=，CE=2，CE∥AF，AC⊥CE，
（I）求证：CM∥平面BDF；
（II）求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小；
（III）求二面角A-DF-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I） 可知CD、CB、CE两两垂直．建立如图空间直角坐标系C-xyz．利用与平行证出CM∥OF，则可以证出CM∥平面BDF
（II） 利用的夹角求异面直线CM与FD所成角
（III）先求出平面ADF与平面BDF的一个法向量，利用两法向量的夹角求出二面角A-DF-B的大小．
解答：解：（I）证明：因为面ABCD⊥面ACEF，面ABCD∩面ACEF=AC，且AC⊥CE，∴CE⊥面ABCD．
所以CD、CB、CE两两垂直．可建立如图空间直角坐标系C-xyz．
则（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），F（2，2，），O（1，1，0）…（2分）
由，可求得M（）…（3分）
=（），）．
所以∥，
∴CM∥OF…（5分）
（II）因为=（），），
所以cos＜＞=
异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小为 …（8分）
（III）因为CD⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量=（2，0，0）．
设平面BDF的法向量为=（x，y，1）…（9分）
由．
所以法向量=（-，1）…（10分）
所以
所以＜=，…（11分）
由图可知二面角A-DF-B为锐角，
所以二面角A-DF-B大小为．…（12分）
点评：本题考查直线和平面平行的判定，异面直线夹角，二面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．