Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和单调增区间；
（Ⅱ）如何由函数y=sinx的图象通过适当的变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的图象可求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）的图象可得A=2，

T

4

=

1

4

•

2π

ω

=

5π

12

-

π

6

，求得ω=2．
再由五点法作图可得 2sin（2×

π

6

+φ）=2，
即 sin（2×

π

6

+φ）=1，2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z．
再根据|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

6

．
故函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+

π

6

 ）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（Ⅱ）把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，
再把图象上各点的横坐标变为原来的

1

2

倍，
再把图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，
可得 f（x）=2sin（2x+

π

6

 ）的图象．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．