Question

已知函数f（x）=log₄（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=1代入函数表达式，解出a=-1，再代入原函数得f（x）=log₄（-x²+2x+3），求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数f（x）的单调区间；
（2）先假设存在实数a，使f（x）的最小值为0，根据函数表达式可得真数t=ax²+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数t=ax²+2x+3的性质，可列出式子：

a＞0 f(- 1 a ) =0

，由此解出a=

1

2

，从而得到存在a的值，使f（x）的最小值为0．

解答：解：（1）∵f（x）=log₄（ax²+2x+3）且f（1）=1，
∴log₄（a•1²+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=-1
可得函数f（x）=log₄（-x²+2x+3）
∵真数为-x²+2x+3＞0⇒-1＜x＜3
∴函数定义域为（-1，3）
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
可得：当x∈（-1，1）时，t为关于x的增函数；
当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．
∵底数为4＞1
∴函数f（x）=log₄（-x²+2x+3）的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，3）
（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，
由于底数为4＞1，可得真数t=ax²+2x+3≥1恒成立，
且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x=-

2

2a

=-

1

a

时，t值为1．
∴

a＞0 a( - 1 a )2+2(- 1 a )+3 =1

⇒

a＞0 - 1 a +2 =0

⇒a=

1

2

因此存在实数a=

1

2

，使f（x）的最小值为0．

点评：本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．