Question

已知数列{a_n}中，已知a₁=1，an+1=

an

1+2an

，
（1）求证数列{

1

an

}是等差数列；  
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对一切n∈N^*，等式a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=2ⁿ恒成立，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

1+2an

，得a_n-a_n+1=2a_na_n+1，两边同除以a_na_n+1得，

1

an+1

-

1

an

=2，由此能够证明数列{

1

an

}是等差数列．
（2）由

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，知an=

1

2n-1

．
（3）因为对一切n∈N^*，有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=2ⁿ，当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=2^n-1，当n≥2时，a_nb_n=2^n-1，又an=

1

2n-1

，所以b_n=（2n-1）2^n-1，由此能够求出数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）由an+1=

an

1+2an

，
得a_n+1+2a_na_n+1=a_n，
即a_n-a_n+1=2a_na_n+1
两边同除以a_na_n+1，
得，

1

an+1

-

1

an

=2，
又

1

a1

=1，
所以数列{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，
所以数列{a_n}的通项公式an=

1

2n-1

（3）因为对一切n∈N^*，
有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=2ⁿ①
所以当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=2^n-1②
①-②得，当n≥2时，
a_nb_n=2^n-1，
又an=

1

2n-1

，
所以b_n=（2n-1）2^n-1
又n=1时，a₁b₁=2¹，a₁=1，
所以b₁=2；
综上得bn=

2 ，&n=1 (2n-1)•2n-1，n≥2

．

点评：本题考查等差数列的证明和数列通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．