Question

选修4-1：几何证明选讲．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OE，根据已知中Rt△ABC中，∠ACB=90°，结合切线的性质，我们可证OE∥BC，进而可得△BDF为等腰三角形，进而得到答案．
（2）由（1）中结论，我们易证△AOE∽△ABC，由BC=6，AD=4，我们可以根据相似三角形的性质，构造出关于圆半径r的方程，解方程求出圆的半径，进而可以求出⊙O的面积．

解答：证明：（1）连接OE．
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF．（5分）
解：（2）设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴

AO

AB

=

OE

BC

，即

r+4

2r+4

=

r

6

，
∴r²-r-12=0，解之得r=4，或r=-3（舍）．
∴S=πr²=16π．（5分）

点评：本题考查的知识点是与圆有关的比例线段，其中（1）的关键是添加辅助线，并得到OE∥BC，（2）的关键是证得△AOE∽△ABC，并根据相似三角形的性质，构造出关于圆半径r的方程．