Question

13．设集合A的元素为实数，且满足①1∉A；②若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A．
（1）若2∈A，试求集合A；
（2）若a∈A，试求集合A；
（3）集合A能否为单元素集合？若能，求出该集合；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件，便可由2∈A，得到-1∈A，$\frac{1}{2}∈A$，会又得到2∈A，从而A的元素只有2，-2，$\frac{1}{2}$三个，写出集合A即可；
（2）根据条件求出A的所有元素：a，$\frac{1}{1-a}，\frac{1-a}{-a}$，求解过程同上；
（3）可假设A可为单元素集合，根据（2）便可得到a需满足：$a=\frac{1}{1-a}=\frac{1-a}{-a}$，容易说明该方程无解，从而得出结论：A不存在单元素集合．

解答 解：（1）根据题意：若2∈A，则$\frac{1}{1-2}=-1∈A$，$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}∈A$，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2∈A$；
∴$A=\{2，-1，\frac{1}{2}\}$；
（2）若a∈A，则$\frac{1}{1-a}∈A$，$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=\frac{1-a}{-a}∈A$，$\frac{1}{1-（\frac{1-a}{-a}）}=a∈A$；
∴$A=\{a，\frac{1}{1-a}，\frac{1-a}{-a}\}$；
（3）若集合A为单元素集合，则：$a=\frac{1}{1-a}=\frac{1-a}{-a}$；
∴a²-a+1=0；
△＜0，该方程无解；
∴A不能为单元素集合．

点评 考查元素与集合的概念，元素与集合的关系，理解单元素集合的概念．