Question

【题目】在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．
（1）若 + = ，求角B的值；
（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，

，

∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，

∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得 ，即 ，

由b2=ac知，b不是最大边，∴

（2）解：∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，

由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得 ，

又b2=ac，∴ ，当且仅当a=c时取等号，

∵B为△ABC的内角，∴ ，

由正弦定理 ，得b=4sinB，

∴△ABC的面积 ，

∵ ，∴ ，∴

【解析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．