Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，且a₁，a₃+1，a₄成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：利用等差数列、等比数列的定义及等差数列的前n项和来解决问题即可．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，则a3=a1•q2=2q2，a4=a1•q3=2q3，
∵a₁，a₃+1，a₄成等差数列，
∴a₁+a₄=2（a₃+1），即2+2q³=2（2q²+1），
整理得q²（q-2）=0，
∵q≠0，∴q=2，
∴an=2×2n-1=2n（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵bn=log2an=log22n=n，
∴Sn=b1+b2+…+bn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
∴（I）数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ（n∈N^*），
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和sn=

n(n+1)

2

．

点评：本题考查等差、等比数列的定义、通项公式及数列的前n项和，要熟练掌握．