Question

（2013•揭阳二模）设f（x）是定义在（0，1）上的函数，对任意的y＞x＞1都有f(

y-x

xy-1

)=f(

1

x

)-f(

1

y

)，记an=f(

1

n2+5n+5

)(n∈N*)，则

8

i=1

ai=（　　）

• A．f(

  1

  2

  )
• B．f(

  1

  3

  )
• C．f(

  1

  4

  )
• D．f(

  1

  5

  )

Answer 1

分析：依题意，可求得a_n=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

），利用累加法即可求得故

8

i=1

a_i=f（

1

3

）-f（

1

11

），逆用已知条件即可得到答案．

解答：解：因a_n=f（

1

n2+5n+5

）=f（

(n+3)-(n+2)

(n+3)(n+2)-1

）=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

），
故

8

i=1

a_i=a₁+a₂+…+a₈=f（

1

3

）-f（

1

4

）+f（

1

4

）-f（

1

5

）+…+f（

1

10

）-f（

1

11

）
=f（

1

3

）-f（

1

11

）
=f（

11-3

11×3-1

）
=f（

1

4

），
故选C．

点评：本题考查抽象函数及其应用，求得a_n=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

）是关键，也是难点，考查观察与推理能力，属于中档题．