Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

（n≥2，n∈N^*）．
（1）求

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值；
（2）求证：a₁+

a2

2

+…+

an

n

≤n+

5

6

-

1

3n

（n∈N^*）；
（3）设bn=

an

n

（n∈N^*），求证：b₁b₂…b_n＜2．

Answer 1

分析：（1）把所给的式子变形可得  3（

n

an

-1）=

n-1

an-1

-1，故可得 {

n

an

-1}是以-

1

3

位首项，以

1

3

为公比的等比数列，求出

n

an

=1-(

1

3

)n，从而可求

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值．
（2）由条件可得

an

n

=

3n

3n-1

≤1+

2

3n

，从而得到  a₁+

a2

2

+…+

an

n

≤n+

1

2

+

2 9 [1-( 1 3 ) n-1]

1- 1 3

=n+

1

2

+

1

3

-(

1

3

)n，运算求出结果．
（3）由b_n=

an

n

=

3n

3n-1

，用数学归纳法证明 b₁b₂…b_n＜2

3n - 1

3n

＜2，（n≥2），再由b₁＜2，从而得出结论成立．

解答：解：（1）∵a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

（n≥2，n∈N^*），∴

1

an

=

2an-1+n-1

3nan-1

，

n

an

=

2

3

+

1

3

×

n-1

an-1

．
∴

3n

an

=2+

n-1

an-1

，∴3（

n

an

-1）=

n-1

an-1

-1．
故可得 {

n

an

-1}是以-

1

3

位首项，以

1

3

为公比的等比数列，∴

n

an

-1=-

1

3

 (

1

3

)n-1，∴

n

an

=1-(

1

3

)n．
∴

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=n-

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=n-

1

2

+

1

2

 (

1

3

)n．

（2）∵

n

an

=1-(

1

3

)n，∴

an

n

=

3n

3n-1

=1+

1

3n-1

≤1+

2

3n

，

∴a₁+

a2

2

+…+

an

n

≤n+

1

2

+

2 9 [1-( 1 3 ) n-1]

1- 1 3

=n+

1

2

+

1

3

-(

1

3

)n=n+

5

6

-

1

3n

（n∈N^*）．

（3）∵b_n=

an

n

=

3n

3n-1

，现用数学归纳法证明 b₁b₂…b_n＜2

3n - 1

3n

，（n≥2）．
当n=2时，b₁b₂ =

3

3-1

 

9

9-1

=

27

16

 ＜

16

9

=2

9-1

9

．
假设当n=k （k≥2）时，b₁b₂…b_k ＜2

3k - 1

3k

，
当 n=k+1时，b₁b₂…b_k b_k+1＜2

3k - 1

3k

•

31+k

3k+1-1

． 
要证明 2

3k - 1

3k

•

31+k

3k+1-1

＜2

3k1 - 1

3k+1

，
只需证明 3^k+1•3^k+1 （ 3^k-1）＜3^k•（3^k+1-1）²，
只要证 3×3^k+1  （ 3^k-1）＜（3^k+1-1）²，3^2k+2-3^k+2＜3^2k+2-23^k+1+1，
3^k+2＞23^k+1-1，3^k+1＞-1．
而3^k+1＞-1 显然成立，∴n=k+1 时，b₁b₂…b_k b_k+1＜2

3k1 - 1

3k+1

，
综上得 b₁b₂…b_k b_k+1＜2

3k1 - 1

3k+1

＜2．
又当n=1时，b₁＜2，所以 b₁b₂…b_k b_k+1＜2．

点评：本题主要考查用放缩法证明不等式，用数学归纳法证明不等式，掌握好放缩的程度，是解题的难点．还考查等比数列的前n项和公式，等比关系的确定，数列与不等式的综合，属于难题．