Question

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名作为样本测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）第二组[160，165）；…第八组[190，195]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（Ⅰ）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（Ⅱ）在上述样本中从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，求满足“|x-y|≤5”的事件的概率；
（Ⅲ）在上述样本中从最后三组中任取3名学生参加学校篮球队，用ξ表示从第八组中取到的学生人数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：第一组人数为0.008×5×50=2人，
则第八组也为2人，第二组人数为0.016×5×50=4人，
第三组与第四组人数分别为0.04×5×50=10人，
第五组人数为0.06×5×50=15人，
由于第六组，第七组，第八组的人数依次构成等差数列，
设第七组人数为a人，第八组人数为b人，
则a+b=7，2+b=2a，解得a=3，b=4．
从而这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为：
800×

2+3+4

50

=144人．
…（4分）
解法二：由题意得，这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为：
800×[1-（0.008×5+0.016×5+0.04×5×2+0.06×5）]=144人．…（4分）
（Ⅱ）第六组人数为4人，第八组人数为2人．
由题意得，从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的基本事件总数为

C

26

=15种，
身高x，y满足“|x-y|≤5”的基本事件数为

C

24

+

C

22

=7种，
所以P(|x-y|≤5)=

7

15

．…（7分）
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0，1，2．…（8分）
P(ξ=0)=

C 37 C 02

C 39

=

35

84

=

5

12

；
P(ξ=1)=

C 27 C 12

C 39

=

42

84

=

1

2

；
P(ξ=2)=

C 17 C 22

C 39

=

7

84

=

1

12

．…（11分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	5 12	1 2	1 12

故Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

．…（12分）