Question

数列{a_n}中，a1=-

2

3

，其前n项和S_n满足Sn=-

1

Sn-1+2

（n≥2），
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）利用）∵a1=-

2

3

，其前n项和S_n满足Sn=-

1

Sn-1+2

（n≥2），代入计算，可求S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，利用数学归纳法的证明步骤进行证明．

解答：解：（1）∵a1=-

2

3

，其前n项和S_n满足Sn=-

1

Sn-1+2

（n≥2），
∴S2=-

1

S1+2

=-

3

4

，S3=-

1

S2+2

=-

4

5

，S4=-

1

S3+2

=-

5

6

；
（2）猜想S_n=-

n+1

n+2

．下面用数学归纳法证明．
①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，成立，即可S_k=-

k+1

k+1

，
则n=k+1时，Sk+1=-

1

Sk+2

=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

，
即n=k+1时，猜想成立，
①②可知S_n=-

n+1

n+2

．

点评：本题考查数学归纳法，考查猜想与证明，正确运用数学归纳法的证明步骤是关键．