Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，M为线段PD的中点．
（I）求证：BM⊥PD
（II）求直线CM与PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）连接BD，计算PB=BD=

5

，利用M为线段PD的中点，可得结论；
（II）连接AC，与BD交于O，连接OM，证明∠MOC（或其补角）为直线CM与PB所成角，利用余弦定理，可求直线CM与PB所成角的余弦值．

解答：（I）证明：连接BD，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，
∴PB=BD=

5

∵M为线段PD的中点，
∴BM⊥PD
（II）解：连接AC，与BD交于O，连接OM，则
∵M为线段PD的中点，
∴MO∥PB
∴∠MOC（或其补角）为直线CM与PB所成角，
在△MOC中，MO=CO=

5

2

，CM=

1+ 5 4

=

3

2

∴cos∠MOC=

5 4 + 5 4 - 9 4

2• 5 2 • 5 2

=

1

10

∴直线CM与PB所成角的余弦值为

1

10

．

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．