题目内容
设P是直线y=x+4上一点，过点P的椭圆的焦点为F1（2，0），F2（-2，0），则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为| x2 |
| 10 |
| y2 |
| 6 |
．
分析：设椭圆方程为
+
=1，依题意可得c的值，进而求得b与a的关系，将直线方程代入椭圆方程得到一个二次方程．因直线与椭圆有交点，可知△≥0进而求出a的取值范围，进而求出a的最小值，求出此时的椭圆方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
解答：解：设椭圆方程为
+
=1
∵c=2，∴b2=a2-c2=a2-4
将直线方程y=x+4代入椭圆方程为
+
=1
（a2-4）x2+a2（x2+8x+16）=a2（a2-4）
即（2a2-4）x2+8a2x+20a2-a4=0
∵直线与椭圆有公共点
∴△=（8a2）2-4（2a2-4）（20a2-a4）
=4a2[16a2-（40a2-2a4-80-4a2）]
=4a2（2a4-28a2+80）
=8a2（a2-10）（a2-4）≥0
∵a2＞c2=4，∴a2≥10，当a2=10时，b2=a2-4=6
∴长轴最短的椭圆方程为
+
=1
故答案为：
+
=1
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵c=2，∴b2=a2-c2=a2-4
将直线方程y=x+4代入椭圆方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（a2-4）x2+a2（x2+8x+16）=a2（a2-4）
即（2a2-4）x2+8a2x+20a2-a4=0
∵直线与椭圆有公共点
∴△=（8a2）2-4（2a2-4）（20a2-a4）
=4a2[16a2-（40a2-2a4-80-4a2）]
=4a2（2a4-28a2+80）
=8a2（a2-10）（a2-4）≥0
∵a2＞c2=4，∴a2≥10，当a2=10时，b2=a2-4=6
∴长轴最短的椭圆方程为
| x2 |
| 10 |
| y2 |
| 6 |
故答案为：
| x2 |
| 10 |
| y2 |
| 6 |
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及椭圆与直线的问题．用方程解的情况来判断，从方程角度看，主要是一元二次方程根的判别式△≥0．
练习册系列答案
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=1