题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点距离之和为4，直线x+4=0为该椭圆的一条准线．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，且
OA
•
OB
＞0（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（I）设椭圆C的半焦距为c，
由题意得
2a=4
a2
c
=4
，解得a=2，b=
3
，
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
y=kx+2
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，
∵直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，
∴△=（16k）2-16（4k2+3）＞0，解得k2＞
1
4
，①
且有x1+x2=-
16k
4k2+3
，x1x2=
4
4k2+3
，
∴
OA
•
OB
=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2
=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）
=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
=
-12k2+16
4k2+3
＞0，
解得k2＜
3
4
，②
由①②得，
1
4
＜k2＜
4
3
，
解得-
2
3
3
＜k＜-
1
2
，或
1
2
＜k＜
2
3
3
，
∴斜率k的取值范围是(-
2
3
3
，-
1
2
)∪(
1
2
，
2
3
3
)．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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