Question

如图，已知圆柱形桶的底面半径为6cm，高为2πcm，有一只蚂蚁从桶外A点出发，经桶的表面通过上口爬行到桶内侧CC₁的中点G吃糖，聪明的蚂蚁爬行的最短距离是

3

5

π

cm．

Answer 1

分析：将圆柱的半个侧面展开成平面图，得到如图的矩形ACC₁A₁，则蚂蚁所走的路程为如图的折线A-E-G，即AE+EG．作出G点关于A₁C₁的对称点D，并连接AD，由平面几何知识知：当E点与AD、A₁C₁的交点E₀重合时，AE+EG最小．由此结合题中数据即可得到聪明的蚂蚁爬行的最短距离．

解答：解：将圆柱的半个侧面展开成平面图，得到如图的矩形ACC₁A₁，
设蚂蚁从A出发，爬到上底面圆上的E点，再爬到点G处吃到糖
它所走的路程为折线A-E-G，即线段AE与EG之和
为了求AE+EG的最小值，作出G点关于A₁C₁的对称点D，
连接AD，设AD∩A₁C₁=E₀，则当E点与E₀重合时，AE+EG最小．
∵AC长等于圆柱底面圆周长的一半，
∴AC=

1

2

×（2π×6）=6π
而CD=

3

2

CC₁=3π，根据勾股定理，得
AD=

AC2+CD2

=

(6π)2+(3π)2

=3

5

π
即蚂蚁爬行的最短距离是3

5

π
故答案为：3

5

π

点评：本题给出圆柱体，求蚂蚁沿着侧面爬行的最短距离，着重考查了利用平面展开的方法求旋转体表面距离最小值的知识，属于中档题．