Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是

梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，P、Q分别是CC₁、C₁D₁的中点。点P到直线

AD₁的距离为

⑴求证：AC∥平面BPQ

⑵求二面角B-PQ-D的大小

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）arctan

解析:

⑴连接CD₁ ∵P、Q分别是CC₁、C₁D₁的        

中点。∴CD₁∥PQ  故CD₁∥平面BPQ

又D₁Q=AB=1，D₁Q∥AB，

得平行四边形ABQD₁，故AD₁∥平面BPQ

  ∴平面ACD₁∥平面BPQ

  ∴AC∥平面BPQ         （4分）

⑵设DD₁中点为E，连EF，则PE∥CD

∵CD⊥AD，CD⊥DD₁   ∴CD⊥平面ADD₁

∴PE⊥平面ADD₁

过E作EF⊥AD₁于F，连PF。则PF⊥AD₁，PF为点P到直线AD₁的距离

PF=，PE=2  ∴EF=  又D₁E=，D₁D=1，∴AD=1    

取CD中点G，连BG，由AB∥DG，AB=DG得GB∥AD。∵AD⊥DC，AD⊥DD₁∴AD⊥平面DCC₁D₁，则BG⊥平面DCC₁D₁

    过G作GH⊥PQ于H，连BH，则BH⊥PQ，故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角。                                                    

    由△GHQ∽△QC₁P得GH=，又BG=1，得tan∠BHG=

∴二面角B-PQ-D大小为arctan