Question

袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球，然后放回．若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束．
（Ⅰ）求摸球3次就停止的事件发生的概率；
（Ⅱ）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 摸球3次就停止，说明前3次分别都摸到了红球，则所求事件的概率为 P=(

1

3

)3．
（Ⅱ） ξ 可能的取值为0，1，2，3，求出随机变量ξ取每个值的概率，即得分布列，从而求得期望．

解答：解：（Ⅰ）依题意，摸球1次，是红球的概率为

1

3

，是白球的概率为

2

3

． 
摸球3次就停止，说明前3次分别都摸到了红球，则所求事件的概率为 P=(

1

3

)3=

1

27

．    
（Ⅱ） ξ 可能的取值为0，1，2，3．则  P（ξ=0 ）=

C

0 5

(

2

3

)5=

32

243

，P（ ξ=1）=

C

1 5

1

3

(

2

3

)4=

80

243

，
P（ξ=2）=

C

2  5

 (

1

3

)2(

2

3

)3=

80

243

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

3

)3+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

+

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2•

1

3

=

17

81

． 
∴随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望为 E_ξ=0×

32

243

+1×

80

243

+2×

80

243

+3×

17

81

=

131

81

．

点评：本题考查独立事件的概率，离散型随机变量的分布列，求出随机变量ξ取每个值的概率是解题的难点．