题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足 $数学公式$ 为常数），且对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比数列，数列 $数学公式$ 的前n项和为 $数学公式$
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求使不等式 $数学公式$ 成立的n最大值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =2n+b-1，（n≥2）
当n=1时，a₁=s₁=1+b，
故a_n=2n+b-1…（2分）
由a_k，a_2k，a_4k成等比数列可得：（4k+b-1）²=（2k+b-1）（8k+b-1）
化简得：2k（b-1）=0，因为对于任意的k∈N^*恒成立，
所以b=1，所以a_n=2n…（5分）
（2）由（1）得a_n=2n
所以 $\text{[math]}$ …（8分）
若 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以n＜24，故n=23…（10分）
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ ，利用a_n=s_n-s_n-1，结合对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，根据 $\text{[math]}$ ，即可求得n最大值．
点评：本题重点考查数列的通项，考查裂项法求和，考查解不等式，解题的关键是利用a_n=s_n-s_n-1，求通项．