Question

抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1，(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点位(-

6

，-

3

2

)分别求：
（1）抛物线的方程
（2）双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，利用抛物线过点(-

6

，-

3

2

)，可求求出c、p的值，从而可得抛物线方程
（2）利用双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1过点(-

6

，-

3

2

)，结合双曲线的性质a²+b²=c²，即可求得双曲线方程．

解答：解：（1）由题设知，抛物线以双曲线的下焦点为焦点，准线过双曲线的上焦点，∴p=2c．
设抛物线方程为x²=-4c•y，
∵抛物线过点(-

6

，-

3

2

)，∴6=-4c•（-

3

2

）．
∴c=1，故抛物线方程为x²=-4y．
（2）∵双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1过点(-

6

，-

3

2

)，
∴

9 4

a2

-

6

b2

=1．
∵a²+b²=c²=1，∴

9 4

a2

-

6

1-a2

=1．
∴a²=

1

4

或a²=9
∵a²+b²=c²=1
∴a²=9（舍）．
∴b²=

3

4

，
故双曲线方程为

y2

1 4

-

x2

3 4

=1

点评：本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，考查了学生的基本运算能力与运算技巧．熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键．