Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1 ， F2 ， 设点F1 ， F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B，P为椭圆C上三点，满足 = + ，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y=x+1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点F1，F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．

∴2c=4，b=2，

故c=2，a=2 ，

故椭圆C的标准方程为：

（2）

解：设A（2 cosα，2sinα），B（2 cosβ，2sinβ），

∵ = + ，

∴ =（ ， ），

∵点P在椭圆上，

∴（3cosα+4cosβ）2+（3sinα+4sinβ）2=25，

∴cosαcosβ+sinαsinβ=0，

∴cos（α﹣β）=0，

∴a﹣β= ，

∴B（2 sinα，﹣2cosα），

∴AB中点Q的坐标为（ cosα+ sinα，sinα﹣cosα），

设Q的点坐标为（x，y），

∴x= cosα+ sinα，y=sinα﹣cosα，

∴ =cos2α+2cosαsinα+sin2α=1+2cosαsinα，y2=cos2α﹣2cosαsinα+sin2α=1﹣2cosαsinα

∴ +y2=2，

即线段AB中点Q的轨迹为E的方程为 ，

设M，N两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），

由 ，消y，整理得5x2+8x﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

∴|MN|= |x1﹣x2|= = = ．

【解析】（1）由题意可得c=2，即可求出b=2，即可求出椭圆的标准方程，（2）设A（2 cosα，2sinα），B（2 cosβ，2sinβ），根据题意和点P在椭圆上，化简整理可得a﹣β= ，再根据中点坐标公式，消α，线段AB中点Q的轨迹为E的方程为 ，再设M，N两点的坐标为（x1 ， y1），（x2 ， y2），根据弦长公式即可求出．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．