Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知0≤b＜a，证明：ea-b-1＞ln

a+1

b+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，根据函数f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0处取得极值，可得f'（x）=0，从而可求m=1，进而可确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）构造函数G（x）=e^x-b-1-ln

x+1

b+1

，G'（x）=e^x-b-

1

x+1

，可得当x＞b≥0时，G'（x）＞0，所以G（x）单调递增，根据 G（b）=1-

1

b+1

=

b

b+1

≥0，即可证得结论．

解答：证明：（Ⅰ）求导函数，f′(x)=ex-

1

x+m

因为函数f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0处取得极值，所以f'（x）=0，∴m=1
所以f′(x)=ex-

1

x+1

，函数的定义域为（-1，+∞） 
∵-1＜x＜0时，f'（x）＜0；x＞0时，f'（x）＞0；
∴x=0是函数的极小值点，也是最小值点
∴函数f（x）的最小值为f（0）=0
（Ⅱ）构造函数G（x）=e^x-b-1-ln

x+1

b+1

，G'（x）=e^x-b-

1

x+1

当x＞b≥0时，G'（x）＞0，所以G（x）单调递增
又因为 G（b）=1-

1

b+1

=

b

b+1

≥0
∴0≤b＜a，G（a）＞G（b）≥0
∴e^a-b-1-ln

a+1

b+1

＞0
即 ea-b-1＞ln

a+1

b+1

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查构造函数证明不等式，解题的关键是构建函数，正确求导．