Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0）且a≠1），若数列2，f（a₁，f（a₂，…f（a_n），2n+4，…（n∈N^*），成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a=2时，数列{b_n}满足b₁=4，b_n=4b_n-1+a_n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式，可得结论；
（2）确定数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法求和即可．

解答：解：（1）设等差数列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）的公差为d，
∴2n+4=2+（n+2-1）d，∴d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴an=a2n+2，（5分）
（2）∵b_n=4b_n-1+a_n-1，∴bn=4bn-1+4n，
∴

bn

4n

=

bn-1

4n-1

+1，∴

bn

4n

-

bn-1

4n-1

=1，
∴

bn

4n

=1+(n-1)×1，
∴bn=n4n，
∴Sn=1•41+2•42+3•43+…+n4n，①
∴4Sn=1•42+2•43+3•44+…+n4n+1，②
①-②得：-3Sn=41+42+43+…+4n-n4n+1，
∴Sn=

(3n-1)4n+1+4

9

（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．