Question

已知函数f(x)=log

1

2

2x-1

2x+1

（x∈（-∞，-

1

2

)∪(

1

2

，（

1

2

，+∞））．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）指出函数f（x）在区间(

1

2

，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）之间的关系，即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用原始的定义进行证明，在区间(

1

2

，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要证f（x₂）＞f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分别代入函数f （x）进行证明．

解答：解：（1）∵函数的定义域（-∞，-

1

2

)∪(

1

2

∪（

1

2

，+∞）关于原点对称．
且f(-x)=log

1

2

-2x-1

-2x+1

=log

1

2

2x+1

2x-1

=log

1

2

(

2x-1

2x+1

)-1=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设g(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

．设-m＜x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）=-4•

x2-x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为m＜0，

1

2

＜x1＜x2，所以x₂-x₁＞0，2x₁+1＞0，2x₂+1＞0，
所以-4•

x2-x1

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
因为y=log

1

2

x是减函数，所以log

1

2

g(x1)＞log

1

2

g(x2)，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在(

1

2

，+∞）上是减函数．

点评：此题主要考查多项式函数的定义域、奇偶性和单调性，解题的关键是利用定义进行证明，是一道基础题．