Question

已知函数f（x）=-

2x

x+1

．
（1）用定义证明函数f（x）在（-1，+∞）上为单调递减函数；
（2）若g（x）=a-f（x），且当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在（-1，+∞）内任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=（-

2x1

x1+1

）-（-

2x2

x2+1

）=

2(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

＞0，得到函数f（x）=-

2x

x+1

在（-1，+∞）上为单调递减函数．
（2）由（1）知，g（x）=a-f（x）在x∈[1，2]上是增函数，故g（x）=a-f（x）在x∈[1，2]上的最小值g（x）_min=g（1）=a-f（1）=a+1．由当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，知g（x）_min=a+1≥0，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）在（-1，+∞）内任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵f（x）=-

2x

x+1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=（-

2x1

x1+1

）-（-

2x2

x2+1

）=

2(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

，
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），x₁＜x₂，
∴（x₂+1）（x₁+1）＞0，2（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）=-

2x

x+1

在（-1，+∞）上为单调递减函数．
（2）由（1）知，g（x）=a-f（x）在x∈[1，2]上是增函数，
∴g（x）=a-f（x）在x∈[1，2]上的最小值：
g（x）_min=g（1）=a-f（1）=a+

2

1+1

=a+1．
∵当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，
∴g（x）_min=a+1≥0，
解得a≥-1，
∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．

点评：本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的最值以及恒成立问题．值得同学们体会和反思．