Question

已知函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

（1）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）为R上的增函数．

Answer 1

（1）由f（0）=0，得a=1，则f（x）=

2x-1

2x+1

．
函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）．
所以a=1时，f（x）为奇函数．
（2）证明：函数可化为f(x)=a-

2

2x+1

，定义域为R．
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
因为x₁＜x₂，所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）为R上的增函数．