Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）求三棱锥E-A₁FD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知中AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，我们易得到∠AEB=60°，∠CED=30°，进而得到AE⊥ED，又由AA₁⊥底面ABCD，得AA₁⊥ED，结合线面垂直的判定定理得到ED⊥平面AA₁EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）将三棱锥E-A₁FD的体积转化为三棱锥D-A₁FE的体积，求出棱锥的高及底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°
△CDE中，∠CED=30°
∴AE⊥ED
∵AA₁⊥底面ABCD，
∴AA₁⊥ED，
又由AE∩AA₁=A
∴ED⊥平面AA₁EF
又∵ED?平面A₁ED
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）三棱锥E-A₁FD的体积与三棱锥D-A₁FE的体积相等
其中DE为棱锥的高，
又∵DE=AD•sin30°=2

3

∴V=

1

3

•(

1

2

×2×4)•2

3

=

8 3

3

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中根据AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，结合等腰三角形性质，得到AE⊥ED，是解答本题的关键．