Question

在空间直角坐标系O-xyz中，=（其中分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量）．有下列命题：
①若=且|，则的最小值为2
②若，若向量与共线且||，则动点P的轨迹是抛物线；
③若=，则平面MQR内的任意一点A（x，y，z）的坐标必须满足关系式=1；
④设，，，若向量与共线且||，则动点P的轨迹是双曲线的一部分．
其中你认为正确的所有命题的序号为    ．

Answer 1

【答案】分析：命题①利用|得到两个正数x，y的关系，求的最小值时只要把“1”代入展开后利用基本不等式求最值；
命题②由已知求出向量，由与共线且||列式得到动点P的轨迹；
命题③利用M在平面MQR中，由共面向量基本定理得到，且λ+μ+t=1，由坐标相等得到
λ，μ，t，则结论得证；
命题④由已知的向量得到向量与的坐标，利用条件与共线且||，列式得到结论．
解答：解：对于①，由=且|，
所以，即．
又x＞0，y＞0．所以=．
所以命题①不成立；
对于②，由，
所以．
由与共线且||，得，
整理得：y²=-2z+1．
所以动点P的轨迹是抛物线，命题②正确；
对于③，由=，则平面MQR内的任意一点
A（x，y，z）满足，即（x，y，z）=λ（a，0，0）+μ（0，b，0）+t（0，0，c）
所以x=λa，y=μb，z=tc．所以．
由λ+μ+t=1，得=1．所以③正确；
对于④，由，，，得，．
由向量与共线且||，得
，整理得：y²-x²=1（0≤x≤4，-4≤y≤4）．
所以动点P的轨迹是双曲线的一部分，所以④正确．
故正确的答案为②③④．
点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了向量的共线即垂直的条件，考查了空间向量的坐标加法与减法运算，该题题目叙述冗长，考查了学生的读题能力，属有一定难度题目．