Question

已知函数f（x）=1nx-ax．
（Ⅰ）若f（x）的最大值为1，求a的值；
（Ⅱ）设l是函数f（x）=1nx-ax图象上任意一点的切线，证明：函数f（x）=1nx-ax的图象除该点外恒在直线l的下方．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵，①当a≤0时，f^′（x）≥0，∴函数f（x）单调递增，因此函数在（0，+∞）上无最大值，不符合题意，应舍去；
②当a＞0时，，令f^′（x）=0，则．
当时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当时，函数f（x）取得极大值，也即最大值．
∴=1，即，解得．
（Ⅱ）设P（x₀，lnx₀-ax₀）是曲线f（x）=lnx-ax的图象上的任意一点，则过点P的切线的斜率为，
∴切线为，化为y=g（x）=，
令h（x）=g（x）-f（x）=-（lnx-ax），
∴h^′（x）==，令h^′（x）=0，解得x=x₀．
当0＜x＜x₀时，h^′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x＞x₀时，h^′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
因此当x=x₀时，函数h（x）取得最小值，∴h（x）≥h（x₀）==0，
∴g（x）≥f（x），函数f（x）=1nx-ax的图象除切点外恒在直线l的下方．
分析：（Ⅰ）先求出导数，对a分类讨论即可得出；
（Ⅱ）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程g（x）=0，构造函数h（x）=g（x）-f（x），利用导数证明h（x）的最小值≥0即可．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值等性质、分类讨论的思想方法是解题的关键．