Question

若展开式中前三项的系数成等差数列，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项．

Answer 1

【答案】分析：由题意需先求出展开式中前三项的系数利用它们成等差数列求出n，
（1）由公式，故可知r=0，4，8时，所得的项为有理项，代入求之即可；
（2）展开式中系数最大的项满足这样的条件，比其前的项大，也比其后的项大，由此关系可得限制条件．解不等式求出r既得．
解答：解：易求得展开式前三项的系数为 ．（2分）
据题意 （3分）⇒n=8（4分）
（1）设展开式中的有理项为T_r+1，由
∴r为4的倍数，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）

故有理项为：，
，
．（8分）
（2）设展开式中T_r+1项的系数最大，则：且（10分）
⇒r=2或r=3
故展开式中系数最大项为：．（12分）
点评：本题考查二项式系数的性质，解题的关键是熟练掌握理解二项式系数的性质及相关的公式，求二项式系数的最大项是考试的一个热点，掌握其转化的条件，及转化的思想，在一些求最值的问题中，此做法有推广的必要．