题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）试判断函数f（x）的单调性；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）试证明：对?n∈N^*，不等式 $数学公式$ ．

解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）
由已知 $\text{[math]}$
令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵当0＜x＜e时， $\text{[math]}$ ，
当x＞e时， $\text{[math]}$
∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，

（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减
故①当0＜2m≤e即 $\text{[math]}$ 时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴ $\text{[math]}$ ，
②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴ $\text{[math]}$ ，
③当m＜e＜2m，即 $\text{[math]}$ 时
∴ $\text{[math]}$ ．

（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时， $\text{[math]}$ ，
∴在（0，+∞）上恒有 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 且当x=e时“=”成立，
∴对?x∈（0，+∞）恒有 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
即对?n∈N^*，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．
分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；
（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；
（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．
点评：本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．